発散（div） - 物理と数学！　ここどうなってんの～？

こんにちは！

まろです．

昨日は英語も併記してみました．

英語もできないといけないなぁと思い，自分用に書いてみました．

さて，今日はベクトル解析の演算子，発散（div）についてです．

divはdivergenceの略です．

では，イメージしていきましょう！

Today, I will introduce "divergence."

An operator "div" means divergence.

Then let's imagine it!

空間に流体があって，その流速がベクトル場として， $v(x,y,z)$ で与えられるとします．

今回は時間は考えないことにします．

1つの頂点の座標が $(x,y,z)$ で，辺の長さが $\Delta x,\Delta y,\Delta z$ の直方体を考えましょう．

$\Delta$ は微小量とします．

$x$ 方向の面について考えると，この直方体の表面には流速の $x$ 成分 $v_x(x,y,z)$ と $v_x(x+\Delta x,y,z)$ が現れます．

で，この差 $v_x(x+\Delta x,y,z)-v_x(x,y,z)$ はこの領域から出ていく分の流速を表します．

これでは分かりにくいかもしれませんね．

ではこの差に流速の $x$ 成分が通る面積 $\Delta y \Delta z$ をかけてみましょう．

微小面積における面積分になっています．

これは単位時間にこの領域から $x$ 方向の面を通って出ていく流体の体積を表しています．

$(v_x(x+\Delta x,y,z)-v_x(x,y,z))\Delta y \Delta z$

ここまで来るとイメージしやすいでしょう．

Consider fluid in three dimensional space whose velocity is given as a vector field $v(x,y,z)$ , not depending on time.

Imagine a cuboid one of whose vertex is located at $(x,y,z)$ and whose side lengths are $\Delta x,\Delta y,\Delta z$ .

On the $x$ directional surfaces, we can observe $x$ component of velocity $v_x(x,y,z)$ and $v_x(x+\Delta x,y,z)$ .

The difference between $v_x(x+\Delta x,y,z)$ and $v_x(x,y,z)$ , $v_x(x+\Delta x,y,z)-v_x(x,y,z)$ , means loss of vellocity in this area.

Now you may be confused.

Then let's multiple the square $\Delta y \Delta z$ to $v_x(x,y,z)$ , $v_x(x+\Delta x,y,z)-v_x(x,y,z)$ .

This is surface integration because it is a small area.

This means the volume of fluid which go out from the area through $x$ surfaces.

Now you can understand what it means.

ではこの操作を他の面についても行って，その和をとって微小体積で割ると，

$\frac{v_x(x+\Delta x,y,z)-v_x(x,y,z)}{\Delta x}+\frac{v_y(x,y+\Delta y,z)-v_y(x,y,z)}{\Delta y}+\frac{v_z(x,y,z+\Delta z)-v_x(x,y,z)}{\Delta z}$

となります．

$\Delta \rightarrow 0$ の極限をとると，各項が偏微分となり，これが発散の式そのものになっています．

$\mathrm{div}v:=\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z}$

です．

Do the same operation to other components, and sum up them and devide it with small volue, we obtain

$\frac{v_x(x+\Delta x,y,z)-v_x(x,y,z)}{\Delta x}+\frac{v_y(x,y+\Delta y,z)-v_y(x,y,z)}{\Delta y}+\frac{v_z(x,y,z+\Delta z)-v_x(x,y,z)}{\Delta z}$ .

When $\Delta \rightarrow 0$ , each term becomes partial diferential.

This is the divergence representation itself,

$\mathrm{div}v:=\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z}$ .

確かに湧きだしのようなイメージですよね．

では，今日はこの辺で！