Euler（オイラー）微分とLagrange（ラグランジュ）微分 - 物理と数学！　ここどうなってんの～？

こんにちは！　まろです．

この連休は暖かくてピクニック日和ですね！

さて今回はLagrange（ラグランジュ）微分についてです．

流体力学や連続体力学を勉強すると必ず出てきますね．

$\frac{D}{Dt}:=\frac{\partial}{\partial t}+v\nabla$

で定義されるやつです．

一方単に $\frac{\partial}{\partial t}$ をEuler（オイラー）微分といいます．

Today, I would like to write about Lagrange time derivative.

This is neessarily used in fluid dynamics and continuum mechanics, which is defined as

$\frac{D}{Dt}:=\frac{\partial}{\partial t}+v\nabla$ .

On the other hand, $\frac{\partial}{\partial t}$ is called Euler time derivative.

流体を考えるときに何が知りたいかというと，流速です．

ある時刻 $t$ において空間中の点 $x$ における流速を $v(x,t)$ と表します．

で，流体に何か力（外力，内力）が作用すると，次の瞬間には流速が変化しますよね．

その変化を表すのが流速の時間微分なんです．

We are interested in flow velocity when we consider fluid.

The flow velocity at point $x$ at time $t$ is described as $v(x,t)$ .

When a force works to the fluid, the velocity is changed the next moment.

It is time derivative that describes the change of the velocity.

ここで2通りの観測方法が考えられますね．

1つは観測点を空間に固定してその位置の流速の変化を見る方法．

もう1つは観測点を流体の流れに乗って移動させて見る方法です

流速でイメージが湧きにくければ温度でもいいです．

温度計をプールの底に固定するか，水に浮かべておくかの違いです．

前者をEuler微分，後者をLagrange微分で表現します．

Now we can consider two ways to observe.

In the first way, observing point is fixed on the space.

In another way, observing point moves with the flow of fluid.

If you cannot imagine well, you can also consider the case of temperature.

A thermometer is fixed on the bottom of a pool, or floats on the surface of water.

The former is called Euler derivative, and the latter Lagrange derivative.

Euler微分は観測点が動かないので， $x$ を固定して $t$ だけを動かします．

Lagrange微分は観測点が流れに乗って $vdt$ だけ移動するので，多変数関数の微分を考えて上の式になります．

このイメージがつかめると，Navier-Stokes式の左辺も暗記する必要がなくなりますね．

Navier-Stokes式では，力が加わった流体の粒が次にどう変化するかが知りたいので，粒子を追跡して観察しているのです．

今回は以上です．

頭の中で納得のいくまでイメージしてみてください．

では！