運動方程式を解いてみよう！（線形ばね弾性力と粘性抵抗力　臨界減衰編）

こんにちは！

いよいよバネ・マス・ダンパ系の最後の解「臨界減衰」です．

「臨界」というのは境目を意味していて，減衰振動と過減衰の中間ということです．

特性方程式が重解をもつということからも，非常に特殊なケースだと言えます．

さて，一般解を求めましょう．

特性方程式を解いて．．．あれ？

重解のときは，基本解が2つ出てこない．

どうしたらいいだろう？

実はこの場合の $e^{-\alpha t}$ でない方の基本解は $t e^{-\alpha t}$ であることが知られています．

本当か確かめてみてください．

自分でやってみることが重要です．

確かめたとして，次に行きますね．

基本解が分かったので，一般解はそれらの一次結合である

$(C_1 + C_2 t)e^{-\alpha t}$

となります．

初期条件を $x_0, \ v_0$ とすると，

$x(t) = (x_0 + (v_0 + \alpha x_0)t)e^{-\alpha t}$

です．

実は，臨界減衰が日常に取り入れられている場面があります．

それは「ドア」です．

ドアの上に，腕のようなものが付いているのを見たことがあるでしょう．

あそこに，バネとダンパが入っています．

ドアを閉めるときには，できるだけ早く，かつできるだけ静かに閉まってほしいですよね．

この2つは相反する要求ですが，臨界減衰には収束が早くかつ閉まる前に原点を通り過ぎない（ある条件下で）という性質があります．

減衰振動では，原点を何度も行き来する運動となりますし，

過減衰では， $e^{\alpha t}$ の項が収束を遅らせます．

その中間の「最適な」解が臨界減衰なのです．

工学では，このように相反する指標の下で最も良い解を見つける「最適化問題」が多く扱われます．

ドアに限らず，モーターの位置決めの制御でも，制御入力によって2階の運動方程式を臨界減衰の式にチューニングすることができます．

これについては今度紹介します．

ドアの話に戻ります．

初期位置が正で，初期速度が負の場合を考えましょう．

これは，開いているドアを手で突いて閉めようとする状況に対応します．

初期速度が $v_0+\alpha x_0 \gt 0$ なら，ドアは原点を通らずに原点に収束します．

$v_0$ が小さいということは，ある程度静かに閉めようとした場合です．

このとき，ドアは「バン！」という音を立てずに閉まります．

では， $v_0$ が大きい，つまり思い切り閉めようとした場合はどうでしょう？

ある時刻において $x(t) \lt 0$ となります．

つまり「バン！」と閉まります．

ですから，想定されていない強さで閉めると，臨界減衰といえども耐えられません．

設計者はドアの重さや閉める力，風の強さなどを考慮してバネとダンパを設計するのです．

ドアは静かに閉めましょう．

次回からはモータの位置決め制御について話します．

ではまた！

物理と数学！　ここどうなってんの～？