2013-11-13

運動方程式を解いてみよう！（粘性抵抗力）

力学バネ・マス・ダンパ系

こんにちは！

まろです．

今日は粘性抵抗のある系を考えましょう．

粘性抵抗とは，文字通りネバネバと運動の邪魔をする力のことです．

レイノルズ数（流体力学の用語で，慣性項と粘性項の比を表す無次元数）が小さいときにはおおよそ速度に比例することが分かっています．

今は大きさのない質点を考えているのでレイノルズ数は定義しにくいですが，ここではあまり速くなく，粘っこい流体中の運動と考えればいいでしょう．

つまり，今回考える運動方程式は

$m\ddot{r}(t)=-c\dot{r}(t)$

です．

$c$ は「減衰係数」または「ダンパ係数」と呼ばれる定数です．

「粘性係数」は流体の物性値の名前なので，あまり使わない方がいいと思います．

さて，この式をよく見ると・・・

両辺が簡単に積分できますね！

$\dot{r}(t)=-\frac{c}{m}r(t)+C_1$ ．

さらにこれは，簡単な微分方程式の形で，

$\frac{d}{dt}\left(r(t)\mathrm{e}^{ct/m}\right) = C_1\mathrm{e}^{ct/m}$

と変形できます．

自分で検算してみてください．

両辺を積分すると，

$r(t)\mathrm{e}^{ct/m}=\frac{mC_1}{c}\mathrm{e}^{ct/m}+C_2$ ．

整理して，

$r(t)=\frac{mC_1}{c}+C_2\mathrm{e}^{-ct/m}$

となります．

またこれを微分して，

$\dot{r}(t)=-\frac{cC_2}{m}\mathrm{e}^{-ct/m}$

です．

この一般解に初期条件を入れてみましょう．

簡単化のためにここからは $x$ 方向のみを考えて，

$x(t)=\frac{mC_1}{c}+C_2\mathrm{e}^{-ct/m}$

とします．

初期条件を $\dot{x}(0)=v_0$ ， $x(0)=0$ としてみると，

$C_2=-\frac{mv_0}{c}$ ， $C_1=v_0$

となります．

まとめると，

$x(t)=\frac{mv_0}{c}(1-\mathrm{e}^{-ct/m})$

です．

物理でおなじみの指数関数が出てきましたね．

まぁ線形常微分方程式の解の基底が指数関数だから当然と言えば当然ですが．

指数が負なので，指数の項は時間が経つと減衰していきます．

つまり質点の速度は $0$ に収束し，位置は $\frac{mv_0}{c}$ に収束します．

速度が小さくなると抵抗力も小さくなるため，いつまで経っても静止することはないのです．

ばねの時は永遠に同じ振動が続いていましたが，この場合はどんどん質点のエネルギーが小さくなっていきます（「エネルギー」はまた今度定義します）．

これが減衰のある運動の特徴です．

次回はもう少し複雑な系を考えてみましょう！

ちなみに，初学者には「青山秀明，力学，学術図書出版社」が読みやすくて良いと思います．

演習問題と解説もちゃんと書いてあります．

著者の大学初級向けの講義の教科書ですので，難しすぎることなくまとめられています．

まろはこの本の2010年度版で入門しました．

ではまた！

2013-11-11

運動方程式を解いてみよう！（線形ばね弾性力）

力学バネ・マス・ダンパ系

こんにちは！

まろです．

前回は $F$ が定数の場合を考えましたが，今日はばねに繋がれた質点の運動を解析しましょう．

ここで考えるばねは，タイトルにもあるように「線形ばね」と呼ばれるものです．

これは，ばねの変位と復元力に比例関係のあるばねのことを言います．

つまり，

$F=-k\Delta x$ （ $\Delta x$ は自然長からの変位， $k\gt 0$ はばね定数）

と表されます．

この関係が成り立たないばねを非線形ばねと言うのです．

普通はばねの自然長の位置を原点にとります．

またここでは簡単化のために1次元運動としましょう．

そうすると，運動方程式は

$m\ddot{x}=-kx$

となります．

まとめると，

$\ddot{x}=-\omega ^2x$

となり，これは微分方程式を少しでも勉強した人ならすぐに解ける形ですね．

ここで， $\omega=\sqrt{k/m}$ とします．

2階微分したときに符号が変わって元の形に戻る関数と言えば，三角関数のサインとコサインです．

つまり， $\sin\omega t$ と $\cos\omega t$ の一次結合が一般解となります．

本当にこれだけか？と思う人もいるでしょう．

実は， $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}$ と $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}$ の線形和でも表現できます．

どちらで考えてもいいですよ！

Eulerの公式によると，虚数単位が絡んだ時に三角関数と指数関数の間にはある等式が成り立つのです．

$\mathrm{e}^{i\psi}=\cos \psi+\mathrm{i}\sin \psi$ です（ $\psi$ は実数）．

ここでは虚数単位がない方が分かりやすいので三角関数を使いましょう．

一般解は，

$x(t)=C_1\sin\omega t+C_2\cos\omega t$

です．

これに初期条件を適用すれば，係数が求まります．

また一般解は

$x(t)=A\cos(\omega t+\phi)$

の形でも表せることが分かると思います．

では，初期条件として，ばねを $x_0$ だけ伸ばして静かに離した場合を考えましょう．

$x(0)=x_0,\dot{x}(0)=0$ です．

この運動は，

$x(t)=x_0\cos\omega t$

となります．

これは振幅 $x_0$ ，角振動数 $\omega$ の調和振動です．

初めにばねを伸ばした位置より遠くには行かないことが言えます．

また，角振動数は $k$ が大きいほど， $m$ が小さいほど大きくなります．

これは，ばねが硬く質点が軽いほど速く振動することを意味しています．

$f=2\pi\omega$ を振動数または周波数と言い， $T=1/f$ を周期と言います．

単位はＳＩ単位系を用いれば，角振動数は $\mathrm{rad/s}$ ，周波数は $\mathrm{s}^-1=\mathrm{Hz}$ となります．

初速がある場合など，いろんな場合で試してみてくださいね．

ちなみに，初学者には「青山秀明，力学，学術図書出版社」が読みやすくて良いと思います．

演習問題と解説もちゃんと書いてあります．

著者の大学初級向けの講義の教科書ですので，難しすぎることなくまとめられています．

まろはこの本の2010年度版で入門しました．

ではまた！

2013-11-10

運動方程式を解いてみよう！（一様重力）

力学

こんにちは！

まろです．

突然ですが，電磁気学は机上の空論だと思います．

なにしろ机上のクーロンですからね．

では運動方程式の $F$ をいろいろ変えて，解いてみましょう．

まずは重力下での運動です．

この場合，

$m\ddot{r}=mg$

です．

左辺の質量は慣性質量，右辺のは重力質量といい，厳密には違うものなのですが，実験的にかなりの精度で一致することが確かめられているので，同じとみなして差し支えありません．

普通は同じものと考えます．

よって，

$\ddot{r}(t)=g$

を考えれば良いのです．

$g$ は時間に依らない重力加速度なので，簡単に積分できますね．

$\dot{r}(t)=gt+C_1$

$r(t)=\frac{1}{2}gt^2+C_1t+C_2$

となります．

高校物理の等加速度運動の公式で出てきた形ですね．

ここで， $t=0$ を初期時刻にすると，

$C_1$ は初速度， $C_2$ は初期位置となります．

$g$ は鉛直方向の成分のみを持つので，鉛直方向と水平方向に分けて考えると，

水平方向の初速度を持ち，鉛直方向の初速度が $0$ の場合には，初期位置を頂点とする放物運動をすることがすぐに分かります．

水平方向には $t$ に，鉛直方向には $t^2$ に比例して位置が変化しますからね．

鉛直方向に初速度を持つ場合でも，その軌道は放物線の一部になることが分かります．

今回は簡単に解けましたね！

次回からは力が時間によって変化する場合を考えていきましょう．

ちなみに，初学者には「青山秀明，力学，学術図書出版社」が読みやすくて良いと思います．

演習問題と解説もちゃんと書いてあります．

著者の大学初級向けの講義の教科書ですので，難しすぎることなくまとめられています．

まろはこの本の2010年度版で入門しました．

2013-11-09

Newton（ニュートン）の運動方程式

力学

こんにちは！

まろです．

忙しくてなかなか更新が進みません（^^;）

今日は，力学の支配方程式である，Newton（ニュートン）の運動方程式を扱います．

よく知っているように，

$m\frac{d^2r(t)}{dt^2}=F(t)$

ですね．

Newtonの記法を用いれば，

$\ddot{r}(t)=F(t)$

とも書けます．

ここで， $t$ は時刻， $m$ は質量， $r(t)$ は粒子の位置ベクトル， $F(t)$ は粒子に作用する力です．

つまり力は，2階微分という演算を通して粒子の位置を変化させるのです．

位置の2階微分は加速度と呼ばれ，速度 $\dot{x}$ の変化率を表します．

質量は粒子の速度の変わりにくさを表す量と言えます．

また，運動方程式は運動量 $p(t)=m\dot{r}$ を用いて

$\dot{p}(t)=F(t)$

とも書けます．

イメージですが， $r$ は単に粒子の位置であるのに対して， $p$ は粒子の運動の勢いをという状態を表しているのです．

ここまで粒子という言葉を使ってきましたが，正確には「質点」といいます．

質点とは，大きさがない質量を持った点のことです．

今後は「質点」という言葉を使いましょう．

ちょっと賢そうに聞こえますからね．

力学の問題を解くというのは，Newtonの運動方程式を解くということです．

つまり，2階微分方程式を解いて， $r(t)$ を $t$ を用いて表すことです．

一般の $F(t)$ について解析的に解くことは難しいですが，力学の入門としては解析的に解ける $F(t)$ を用いて話が進められます．

では次回は，その場合について実際に運動方程式を解いてみましょう！

ちなみに，初学者には「青山秀明，力学，学術図書出版社」が読みやすくて良いと思います．

演習問題と解説もちゃんと書いてあります．

著者の大学初級向けの講義の教科書ですので，難しすぎることなくまとめられています．

まろはこの本の2010年度版で入門しました．

2013-10-14

発散（div）

物理数学

こんにちは！

まろです．

昨日は英語も併記してみました．

英語もできないといけないなぁと思い，自分用に書いてみました．

さて，今日はベクトル解析の演算子，発散（div）についてです．

divはdivergenceの略です．

では，イメージしていきましょう！

Today, I will introduce "divergence."

An operator "div" means divergence.

Then let's imagine it!

空間に流体があって，その流速がベクトル場として， $v(x,y,z)$ で与えられるとします．

今回は時間は考えないことにします．

1つの頂点の座標が $(x,y,z)$ で，辺の長さが $\Delta x,\Delta y,\Delta z$ の直方体を考えましょう．

$\Delta$ は微小量とします．

$x$ 方向の面について考えると，この直方体の表面には流速の $x$ 成分 $v_x(x,y,z)$ と $v_x(x+\Delta x,y,z)$ が現れます．

で，この差 $v_x(x+\Delta x,y,z)-v_x(x,y,z)$ はこの領域から出ていく分の流速を表します．

これでは分かりにくいかもしれませんね．

ではこの差に流速の $x$ 成分が通る面積 $\Delta y \Delta z$ をかけてみましょう．

微小面積における面積分になっています．

これは単位時間にこの領域から $x$ 方向の面を通って出ていく流体の体積を表しています．

$(v_x(x+\Delta x,y,z)-v_x(x,y,z))\Delta y \Delta z$

ここまで来るとイメージしやすいでしょう．

Consider fluid in three dimensional space whose velocity is given as a vector field $v(x,y,z)$ , not depending on time.

Imagine a cuboid one of whose vertex is located at $(x,y,z)$ and whose side lengths are $\Delta x,\Delta y,\Delta z$ .

On the $x$ directional surfaces, we can observe $x$ component of velocity $v_x(x,y,z)$ and $v_x(x+\Delta x,y,z)$ .

The difference between $v_x(x+\Delta x,y,z)$ and $v_x(x,y,z)$ , $v_x(x+\Delta x,y,z)-v_x(x,y,z)$ , means loss of vellocity in this area.

Now you may be confused.

Then let's multiple the square $\Delta y \Delta z$ to $v_x(x,y,z)$ , $v_x(x+\Delta x,y,z)-v_x(x,y,z)$ .

This is surface integration because it is a small area.

This means the volume of fluid which go out from the area through $x$ surfaces.

Now you can understand what it means.

ではこの操作を他の面についても行って，その和をとって微小体積で割ると，

$\frac{v_x(x+\Delta x,y,z)-v_x(x,y,z)}{\Delta x}+\frac{v_y(x,y+\Delta y,z)-v_y(x,y,z)}{\Delta y}+\frac{v_z(x,y,z+\Delta z)-v_x(x,y,z)}{\Delta z}$

となります．

$\Delta \rightarrow 0$ の極限をとると，各項が偏微分となり，これが発散の式そのものになっています．

$\mathrm{div}v:=\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z}$

です．

Do the same operation to other components, and sum up them and devide it with small volue, we obtain

$\frac{v_x(x+\Delta x,y,z)-v_x(x,y,z)}{\Delta x}+\frac{v_y(x,y+\Delta y,z)-v_y(x,y,z)}{\Delta y}+\frac{v_z(x,y,z+\Delta z)-v_x(x,y,z)}{\Delta z}$ .

When $\Delta \rightarrow 0$ , each term becomes partial diferential.

This is the divergence representation itself,

$\mathrm{div}v:=\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z}$ .

確かに湧きだしのようなイメージですよね．

では，今日はこの辺で！

2013-10-13

Euler（オイラー）微分とLagrange（ラグランジュ）微分

物理数学

こんにちは！　まろです．

この連休は暖かくてピクニック日和ですね！

さて今回はLagrange（ラグランジュ）微分についてです．

流体力学や連続体力学を勉強すると必ず出てきますね．

$\frac{D}{Dt}:=\frac{\partial}{\partial t}+v\nabla$

で定義されるやつです．

一方単に $\frac{\partial}{\partial t}$ をEuler（オイラー）微分といいます．

Today, I would like to write about Lagrange time derivative.

This is neessarily used in fluid dynamics and continuum mechanics, which is defined as

$\frac{D}{Dt}:=\frac{\partial}{\partial t}+v\nabla$ .

On the other hand, $\frac{\partial}{\partial t}$ is called Euler time derivative.

流体を考えるときに何が知りたいかというと，流速です．

ある時刻 $t$ において空間中の点 $x$ における流速を $v(x,t)$ と表します．

で，流体に何か力（外力，内力）が作用すると，次の瞬間には流速が変化しますよね．

その変化を表すのが流速の時間微分なんです．

We are interested in flow velocity when we consider fluid.

The flow velocity at point $x$ at time $t$ is described as $v(x,t)$ .

When a force works to the fluid, the velocity is changed the next moment.

It is time derivative that describes the change of the velocity.

ここで2通りの観測方法が考えられますね．

1つは観測点を空間に固定してその位置の流速の変化を見る方法．

もう1つは観測点を流体の流れに乗って移動させて見る方法です

流速でイメージが湧きにくければ温度でもいいです．

温度計をプールの底に固定するか，水に浮かべておくかの違いです．

前者をEuler微分，後者をLagrange微分で表現します．

Now we can consider two ways to observe.

In the first way, observing point is fixed on the space.

In another way, observing point moves with the flow of fluid.

If you cannot imagine well, you can also consider the case of temperature.

A thermometer is fixed on the bottom of a pool, or floats on the surface of water.

The former is called Euler derivative, and the latter Lagrange derivative.

Euler微分は観測点が動かないので， $x$ を固定して $t$ だけを動かします．

Lagrange微分は観測点が流れに乗って $vdt$ だけ移動するので，多変数関数の微分を考えて上の式になります．

このイメージがつかめると，Navier-Stokes式の左辺も暗記する必要がなくなりますね．

Navier-Stokes式では，力が加わった流体の粒が次にどう変化するかが知りたいので，粒子を追跡して観察しているのです．

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今回は以上です．

頭の中で納得のいくまでイメージしてみてください．

では！

2013-10-13

幾何ベクトルと数ベクトル

物理数学

こんにちは！

ごきげんいかがですか？　まろです．

初回の記事の内容を何にしようか考えまして，物理をやる上で最初に必要となるベクトルについて話すことにしました．

タイトルにある幾何ベクトルと数ベクトルですが，この違いを意識している人って少ないのではないでしょうか？

今日はこれらの区別について思うところを書いていきますね．

みなさんは，われわれがいる3次元空間上の粒子の位置を表してくださいと言われたとき位置ベクトルを使いますよね？

この位置ベクトルを定義するとき，反射的に $r\in \mathbb{R}^3$ と書いてしまいがちです．

これってどうなん？

$\mathbb{R}^3$ というのはそもそも3次元数ベクトル空間であって，幾何ベクトルではないのです．

ここでこれらの違いを述べますと，

幾何ベクトル：大きさと向きからなる量．

数ベクトル：単に3つの数の組．

となります（ざっくりしてますがお許しを）．

例えば粒子の位置を表すとして，数ベクトル表現では

$[ x \ y \ z ]$ とか $[ \rho \ \theta \ \phi]$ とかで表しますね．

これでは座標系のとり方によってベクトルそのものが変わってしまいます．

それは実際の空間を $\mathbb{R}^3$ という抽象的な空間に写像しているためです．

一方幾何ベクトル表現では，空間に3つの一次独立な幾何ベクトル $e_1, e_2, e_3$ があって，これの一次結合で表します．

$e_1, e_2, e_3$ が正規直交基底で，それに重なるようにそれぞれ $x,y,z$ 軸をとると，粒子の位置は $r=xe_1+ye_2+ze_3$ と表せます．

われわれのいる空間に実在するベクトルの集合を $V$ として， $r\in V$ です．

ここで $r$ は空間に「実在している」ものなので，軸や基底のとり方を変えて， $r=x'e'_1+y'e'_2+z'e'_3$ と表現しても $r$ 自体は何も変わらずそこにあり続けるのです．

物理現象は座標系のとり方に依らないという要請を考えると，物理現象を中心に考えるのが幾何ベクトル表現で，観測者の視点を中心に考えるのが数ベクトル表現なのです．

$V$ と $\mathbb{R}^3$ は線形代数で言うところの同型なのでどちらで考えても良いのですが，必ずしも数ベクトルの成分と幾何ベクトルの成分が一致しないことに注意が必要です．

例えば，デカルト座標系においては基底ベクトルと軸の向きを合わせれば $[ x \ y \ z ]$ と $r=xe_x+ye_y+ze_z$ のように成分が一致しますが，球座標では $[ \rho \ \theta \ \phi]$ の成分を用いて $r=\rho e_{\rho}+\theta e_{\theta}+\phi e_{\phi}$ とすることはできません．

この球座標の例以外にも，抽象的な空間（位相空間など）を考える際にはそれが数ベクトル空間での話であって特に幾何的な意味はないと割り切っておけば，混乱しにくいと思います．

また分野によってどちらの表現を使うかが異なるので，教科書を読むときや講義を聴くときに意識してみてください．

以上，ベクトルについてでした．

今後もこんな感じでつぶやいていきたいと思います．

では，今日はこの辺で！

物理と数学！　ここどうなってんの～？

工学系の著者が気ままに書きます．大学初級の物理と数学で，初学者が「ここどうなってんの～？」と思うところを中心に取り上げていきます．改めて学び直したい人もどうぞ．

運動方程式を解いてみよう！（粘性抵抗力）

運動方程式を解いてみよう！（線形ばね弾性力）

運動方程式を解いてみよう！（一様重力）

Newton（ニュートン）の運動方程式

発散（div）

Euler（オイラー）微分とLagrange（ラグランジュ）微分

幾何ベクトルと数ベクトル