運動方程式を解いてみよう！（線形ばね弾性力と粘性抵抗力　一般解編）

こんにちは！

まろです．

前回から扱っている運動方程式を解くのは，やや長丁場になりそうです．

しかし，

$m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=0$ ， $m,c \gt 0$

という形の方程式は，機械システムをはじめとして，電気システム，流体システムなどさまざまなところで出てくるので，とても重要な式です．

機械システムでは「ばね・マス・ダンパ系」，電気系では「RLC回路」などです．

ポイントは復元力と減衰力が入っていることで，これによってシステムが安定に（発散せずに）動作するのです．

この方程式を，計算の便宜上

$\ddot{x}+2\alpha\dot{x}+\omega _0^2 x=0$

と変形しておきます．

$\omega _0$ は，減衰項のない場合の角振動数です．

線形常微分方程式の一般論によると，解の基底（基本解の組）は

$\mathrm{e}^{\lambda t}$

です．ここで $\lambda$ は複素数です．

つまり，

$x(t)=C_1 \mathrm{e}^{\lambda t} + C_2 \mathrm{e}^{-\lambda t}$

となります．

線形微分方程式なので，一般解の第1項と第2項はそれぞれ元の方程式を満たします．

それぞれの基本解を代入して， $\lambda$ に関する2次方程式

$\lambda ^2 +2\alpha\lambda + \omega_0^2=0$

が得られます．

この解は簡単に分かりますね．

$\lambda=-\alpha \pm \sqrt{ \alpha ^2 - \omega _0^2}$

です．

冒頭でわざわざ変形した理由が分かると思います．

（ただ表記を簡単にするためです．）

ここで場合分けが生じますね．

①： $\omega _0\gt \alpha$ 　：複素解

②： $\omega _0= \alpha$ 　：重解

③： $\omega _0\lt \alpha$ 　：実数解

もう想像がつくと思いますが，①は振動解で，②と③は非振動解になります．

次回からはそれぞれの場合について解を出していきましょう．

いつも紹介している下の本は，振動を詳しく扱っていないので，

この下の本がおすすめです．

1質点だけでなく，多体系や連続体についても一通り書かれています．

ｄ

ではまた！

物理と数学！　ここどうなってんの～？