運動方程式を解いてみよう!(線形ばね弾性力と粘性抵抗力 一般解編)
こんにちは!
まろです.
前回から扱っている運動方程式を解くのは,やや長丁場になりそうです.
しかし,
,
という形の方程式は,機械システムをはじめとして,電気システム,流体システムなどさまざまなところで出てくるので,とても重要な式です.
機械システムでは「ばね・マス・ダンパ系」,電気系では「RLC回路」などです.
ポイントは復元力と減衰力が入っていることで,これによってシステムが安定に(発散せずに)動作するのです.
この方程式を,計算の便宜上
と変形しておきます.
は,減衰項のない場合の角振動数です.
線形常微分方程式の一般論によると,解の基底(基本解の組)は
です.ここでは複素数です.
つまり,
となります.
線形微分方程式なので,一般解の第1項と第2項はそれぞれ元の方程式を満たします.
それぞれの基本解を代入して,に関する2次方程式
が得られます.
この解は簡単に分かりますね.
です.
冒頭でわざわざ変形した理由が分かると思います.
(ただ表記を簡単にするためです.)
ここで場合分けが生じますね.
①: :複素解
②: :重解
③: :実数解
もう想像がつくと思いますが,①は振動解で,②と③は非振動解になります.
次回からはそれぞれの場合について解を出していきましょう.
いつも紹介している下の本は,振動を詳しく扱っていないので,
この下の本がおすすめです.
1質点だけでなく,多体系や連続体についても一通り書かれています.
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ではまた!